Abelsche Flächen über endlichen Körpern, die keine Kurven der Gattung 3 oder weniger enthalten

Wir charakterisieren abelsche Flächen, die über endlichen Körpern definiert sind und keine Kurven der Gattung kleiner oder gleich 3 enthalten. Zunächst vervollständigen und erweitern wir die Charakterisierung der Isogenieklassen von abelschen Flächen ohne Kurven der Gattung bis 2, die von dem ersten Autor et al. in früheren Arbeiten initiiert wurde. Zweitens zeigen wir, dass es für einfache abelsche Flächen äquivalent ist, eine Kurve der Gattung 3 zu enthalten, eine Polarisation vom Grad 4 zuzulassen. Dank dieses Ergebnisses können wir bestehende Algorithmen verwenden, um zu überprüfen, welche Isomorphieklassen in den Isogenieklassen, die keine Kurven der Gattung 2 enthalten, eine Polarisation vom Grad 4 haben. Drittens charakterisieren wir Isogenieklassen von abelschen Flächen ohne Kurven der Gattung 2, die keine abelsche Fläche mit einer Polarisation vom Grad 4 enthalten. Schließlich beschreiben wir absolut irreduzible Kurven der Gattung 3, die auf abelschen Flächen liegen, die keine Kurven der Gattung kleiner oder gleich 2 enthalten, und zeigen, dass ihre Anzahl rationaler Punkte weit von der Serre-Weil-Obergrenze entfernt ist.