Maximale Regelmäßigkeit und optimale Steuerung für ein nichtlokales Cahn-Hilliard-Tumorwachstumsmodell

Wir betrachten ein nichtlokales Tumorwachstumsmodell vom Phasenfeldtyp, das die Evolution von Tumorzellen durch Proliferation in Anwesenheit eines Nährstoffs beschreibt. Das Modell besteht aus einem gekoppelten System, das eine nichtlokale Cahn-Hilliard-Gleichung für die Tumorphasenvariable und eine Reaktions-Diffusionsgleichung für den Nährstoff integriert. Zunächst stellen wir neuartige Regelmäßigkeitsergebnisse für ein solches Modell auf, indem wir die Theorie der maximalen Regelmäßigkeit in gewichtetem Lp-Räumen anwenden. Diese Technik ermöglicht es uns, die lokale Existenz und Eindeutigkeit einer regulären Lösung zu beweisen, die auch Chemotaxis-Effekte umfasst. Durch die Nutzung von zeitlicher Regularisierungs-Eigenschaften und globalen Beschränkungsabschätzungen erweitern wir die Lösung weiter zu einer globalen. Diese Ergebnisse bilden die Grundlage für die Behandlung eines Optimalsteuerungsproblems, das darauf abzielt, eine geeignete Therapie zu identifizieren, die den Tumor auf ein vordefiniertes Ziel lenkt. Insbesondere beweisen wir die Existenz einer optimalen Therapie und leiten, indem wir die Fréchet-Differenzierbarkeit des Steuerungs-zu-Zustand-Operators untersuchen und das adjungierte System einführen, notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung ab.