Quasi-zählbare inverse Halbgruppen als metrische Räume und die uniformen Roe-Algebren lokal endlich vieler inverser Halbgruppen

Gegeben eine quasi-zählbare, insbesondere jede zählbare inverse Halbgruppe S, führen wir eine Möglichkeit ein, S mit einer ordentlichen und rechts subinvarianten erweiterten Metrik auszustatten. Dies verallgemeinert das Konzept ordentlicher, rechts invarianten Metriken für diskrete zählbare Gruppen. Eine solche Metrik ist bis auf bijektive grobe Äquivalenz der Halbgruppe einzigartig und hängt somit wesentlich nur von S ab. Dies ermöglicht uns, die uniforme Roe-Algebra von S eindeutig zu definieren, die wir nachweisen, dass sie als kanonisches Kreuzprodukt von ^ (S) und S realisiert werden kann. Wir stellen einen Bezug zwischen diesen Metriken und den analogischen Metriken auf Hausdorff-étale Gruppoiden her. In diesem Rahmen untersuchen wir die inversen Halbgruppen mit asymptotischer Dimension 0. Die Ergebnisse, die für Gruppen bekannt sind, werden verallgemeinert und wir zeigen, dass dies genau die lokal endlich vielen inversen Halbgruppen sind, die sich zusätzlich dadurch auszeichnen, dass sie stark quasi-diagonale uniforme Roe-Algebren besitzen. Wir zeigen, dass im Gegensatz zum Gruppenfall das Vorhandensein einer endlichen uniformen Roe-Algebra strikt schwächer ist und charakterisiert wird durch die Bedingung, dass S lokal L-endlich und äquivalent spärlich als metrischer Raum ist.