Integration über die Surrealen

Conways reelles abgeschlossenes Feld No der surrealen Zahlen ist eine umfassende Verallgemeinerung der reellen Zahlen und der Ordinalzahlen, auf die eine Reihe von elementaren Funktionen wie Logarithmus und Exponentialfunktion ausgeweitet werden kann. Die Probleme, signifikante Klassen von Funktionen zu identifizieren, die so erweitert werden können, und die Integration für sie zu definieren, haben sich als gewaltig erwiesen. In diesem Papier gehen wir auf diese und verwandte ungelöste Fragen ein, indem wir zeigen, dass Erweiterungen von No und somit Integrale für die meisten Funktionen existieren, die in praktischen Anwendungen auftreten. Insbesondere zeigen wir, dass sie für eine große Unterklasse der wiederkehrenden Funktionen existieren, einer Unterklasse, die die Funktionen enthält, die bei ∞ semi-algebraisch, semi-analytisch, analytisch, meromorph und Borel-summierbar sind sowie Lösungen von nichtresonanten linearen und nichtlinearen meromorphen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen. Durch geeignete Variablenwechsel behandeln wir willkürlich gelegene Singularitäten. Weiterhin stellen wir eine hinreichende Bedingung fest, damit die Theorie allgemeiner auf ordnungsgemäße exponentielle Unterfelder von No übergeht und veranschaulichen das Ergebnis mit Strukturen, die aus der surrealistischen Literatur bekannt sind. Die Erweiterungen von Funktionen und Integralen, die uns betreffen, sind konstruktiver Natur, was uns erlaubt, in NBG ohne das Auswahlaxiom (für Mengen und richtige Klassen) zu arbeiten. Nach dem Abschluss des positiven Teils des Papiers wird gezeigt, dass die Existenz solcher konstruktiver Erweiterungen und Integrale von wesentlich allgemeineren Funktionstypen (z.B. glatten Funktionen) durch Überlegungen aus den Grundlagen der Mathematik behindert wird.