Monotone Folgen von metrischen Räumen mit kompakten Grenzen

In diesem Papier betrachten wir einen festen metrischen Raum (möglicherweise eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Grenze) mit einer zunehmenden Folge von Abstandsfunktionen und einer einheitlichen oberen Grenze für den Durchmesser. Wenn der metrische Raum, der mit dem punktweisen Limit dieser Abstände ausgestattet ist, kompakt ist, dann gibt es eine einheitliche und Gromov-Hausdorff (GH) Konvergenz zu diesem Limit. Wenn der metrische Raum auch eine integrale Strukture von gleichmäßig begrenzter Gesamtmasse hat (was für eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Grenze und einer einheitlichen Grenze für das Gesamtvolumen zutrifft), beweisen wir volumenbehaltende intrinsische flache Konvergenz zu einer Teilmenge des GH-Limits, deren Abschluss das gesamte GH-Limit ist. Wir geben einen Überblick über alle Begriffe und haben am Ende eine Liste offener Fragen. Gewidmet Xiaochun Rong.