Gleichheit verschiedener Definitionen der konformen Dimension für quasiselbstähnliche und CLP-Räume

Wir beweisen, dass für einen quasiselbstähnlichen und bogenweise zusammenhängenden kompakten metrischen Raum alle drei bekannten Versionen der konformen Dimension übereinstimmen: die konforme Hausdorff-Dimension, die konforme Assouad-Dimension und die Ahlfors-reguläre konforme Dimension. Dies beantwortet eine von Murugan aufgeworfene Frage. Quasiselbstähnliche Räume umfassen alle ungefähr selbstähnlichen Räume. Als Beispiel ist der Standard-Sierpiński-Teppich quasiselbstähnlich, und somit stimmen die drei Begriffe der konformen Dimension für ihn überein. Wir geben auch die Gleichheit der drei Dimensionen für kombinatorisch p-Loewner (CLP)-Räume an. Beide Beweise beruhen auf einem neuen Begriff des kombinativen Moduls, der zwischen zwei in der Literatur erschienenen Begriffen des Moduls liegt. Der erste ist der von Pansu und Tyson untersuchte Modul, der eine Carathéodory-Konstruktion verwendet. Der zweite ist der von Keith und Laakso verwendete (und später von Bourdon, Kleiner, Carrasco-Piaggio, Murugan und Shanmugalingam modifizierte und verwendete). Durch die Kombination dieser Ansätze gewinnen wir die Flexibilität, obere Schranken für den neuen Modul aus dem Pansu–Tyson-Ansatz zu geben, und die Möglichkeit, untere Schranken mit dem Keith–Laakso-Ansatz zu erhalten. Darüber hinaus kann der neue Modul in selbstähnlichen Räumen iteriert werden, was einen entscheidenden und neuartigen Schritt in unserem Argument darstellt.