Optimales Deep Learning von holomorphen Operatoren zwischen Banachräumen

Operatoren-Lernprobleme treten in vielen Schlüsselbereichen der wissenschaftlichen Berechnung auf, in denen partielle Differentialgleichungen (PDEs) verwendet werden, um physikalische Systeme zu modellieren. In solchen Szenarien kartieren die Operatoren zwischen Banach- oder Hilberträumen. In dieser Arbeit nehmen wir uns des Problems an, Operatoren zwischen Banachräumen zu lernen, im Gegensatz zur überwiegenden Mehrzahl der bisherigen Arbeiten, die nur Hilberträume betrachten. Wir konzentrieren uns auf das Lernen holomorpher Operatoren - eine wichtige Klasse von Problemen mit vielen Anwendungen. Wir kombinieren beliebige approximative Encoder und Decoder mit standardmäßigen Feedforward-Doppelnetzen (DNN) - insbesondere solche mit konstanter Breite, die die Tiefe überschreiten - unter standardmäßiger ²-Verlustminimierung. Zunächst identifizieren wir eine Familie von DNNs, sodass das resultierende Deep Learning (DL)-Verfahren optimale Verallgemeinerungsgrenzen für solche Operatoren erreicht. Für standardmäßige vollvernetzte Architekturen zeigen wir dann, dass es unendlich viele Minimierer des Trainingsproblems gibt, die eine äquivalente optimale Leistung erbringen. Die DNN-Architekturen, die wir betrachten, sind 'problemagnostisch', wobei Breite und Tiefe nur von der Menge der Trainingsdaten m abhängen und nicht von Regularitätsannahmen des Zieloperators. Anschließend zeigen wir, dass DL für dieses Problem optimal ist: kein Wiederherstellungsverfahren kann diese Verallgemeinerungsgrenzen bis zu Logarithmentermen überschreiten. Schließlich präsentieren wir numerische Ergebnisse, die die praktische Leistung bei herausfordernden Problemen demonstrieren, einschließlich der parametrischen Diffusion, Navier-Stokes-Brinkman- und Boussinesq-PDEs.