Variationsungleichungen und Smooth-Fit-Prinzip für singuläre stochastische Kontrollprobleme in Hilberträumen

Wir betrachten eine Klasse von unend-dimensionalen singulären stochastischen Kontrollproblemen. Diese können als räumliche monotone Folgeprobleme betrachtet werden und finden Anwendung in räumlichen Modellen für Produktion und Klimawandel. Sei (D, M, ) ein endlicher Maßraum und betrachten wir den Hilbertraum H: =L² (D, M, ; R). Sei dann X ein H-wertiger stochastischer Prozess auf einem geeigneten vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum, dessen Evolution durch eine SPDE, die von einem selbstadjungierten linearen Operator A angetrieben wird und von einer zylindrischen Brownschen Bewegung beeinflusst wird, bestimmt ist. Die Evolution von X wird linear über eine H-wertige Kontrolle gesteuert, die aus der Richtung und der Intensität der Aktion besteht, einem reellwertigen, nicht abnehmenden, rechtskontinuierlichen stochastischen Prozess, angepasst an die zugrunde liegende Filtration. Das Ziel ist es, eine rabattierte, konvexe Kostenfunktion über einen unendlichen Zeitrahmen zu minimieren. Durch die Kombination von Eigenschaften semikonkaver Funktionen und Techniken aus der Viskositätstheorie zeigen wir zunächst, dass die Wertfunktion des Problems V eine C^1, Lip (H) -Viskositätslösung der entsprechenden dynamischen Programmiergleichung ist, die hier die Form einer Variationsungleichung mit Gradientenbeschränkung annimmt. Dann, indem wir dem Entscheidungsträger erlauben, nur die Intensität der Kontrolle auszuwählen und erfordern, dass die gegebene Kontrollrichtung n ein Eigenvektor des linearen Operators A ist, stellen wir fest, dass die Richtungsableitung V₍ Klasse C¹ (H) ist, sodass ein Smooth-Fit-Prinzip zweiter Ordnung in der kontrollierten Richtung für V gilt. Dieses Ergebnis wird durch die Ausnutzung einer Verbindung zum optimalen Stoppen und durch die Kombination von Ergebnissen und Techniken aus der konvexen Analyse und der Viskositätstheorie erzielt.