Imaginäre quadratische Felder F mit X₀ (15) (F) endlich

Caraiani und Newton haben bewiesen, dass wenn F ein imaginäres quadratisches Zahlfeld ist, sodass X₀ (15) die Rang 0 über F hat, dann jede elliptische Kurve über F modular ist. Dieses Papier beschäftigt sich mit den quadratischen Feldern F=Q (-p) für eine Primzahl p. Wir geben explizite Bedingungen für p an, unter denen der Rang 0 ist, und beweisen, dass diese Bedingungen für 87,5 % der Primzahlen erfüllt sind, bei denen der Rang basierend auf der Paritätskonjektur als gerade erwartet wird. Wir zeigen auch, dass diese Bedingungen genau dann erfüllt sind, wenn Rang 0 aus einem 4-Abstieg über Q auf dem quadratischen Twist X₀ (15) -₏ folgt. Um dies zu beweisen, führen wir zwei aufeinanderfolgende 2-Abstiege durch und beweisen, dass dies Ranggrenzen ergibt, die denjenigen entsprechen, die aus einem 4-Abstieg unter Verwendung von Visualisierungstechniken für Sha2 gewonnen wurden. Tatsächlich beweisen wir einen allgemeineren Zusammenhang zwischen höheren Abstiegen für elliptische Kurven, der für sich genommen interessant erscheint.