Optimal erreichbare Raten in zwei Problemen der Zufallszahlengenerierung mit f-Divergenzen unter Verwendung der glatten R\'enyi-Entropie

Zwei typische Probleme der Zufallszahlengenerierung mit fester Länge in der Informationstheorie werden für allgemeine Quellen betrachtet. Eines ist das Problem der Quellenauflösbarkeit und das andere das Problem der intrinsischen Zufälligkeit. In jedem dieser Probleme ist die optimal erreichbare Rate in Bezug auf das gegebene Approximationsmaß eines unserer Hauptanliegen und wurde mit Hilfe von zwei verschiedenen Informationsmengen charakterisiert: dem Informationsspektrum und der glatten R\'enyi-Entropie. Kürzlich wurden optimal erreichbare Raten in Bezug auf f-Divergenzen unter Verwendung der Informationsspektrumsmenge charakterisiert. Die f-Divergenz ist ein allgemeines nicht-negatives Maß zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf der Grundlage einer konvexen Funktion f. Die Klasse der f-Divergenzen umfasst mehrere wichtige Maße wie die variational Distance, die KL-Divergenz, die Hellinger-Distanz und so weiter. Daher ist es sinnvoll, die Probleme der Zufallszahlengenerierung in Bezug auf f-Divergenzen zu betrachten. Allerdings wurden die optimal erreichbaren Raten in Bezug auf f-Divergenzen unter Verwendung der glatten R\'enyi-Entropie in beiden Problemen noch nicht aufgeklärt. In diesem Papier versuchen wir, die optimal erreichbaren Raten unter Verwendung der glatten R\'enyi-Entropie zu analysieren und die Klasse der f-Divergenz zu erweitern. Dazu leiten wir zunächst allgemeine Formeln für die erstordentlichen optimal erreichbaren Raten in Bezug auf f-Divergenzen in beiden Problemen unter denselben Bedingungen ab, wie sie in früheren Studien auferlegt wurden. Als nächstes lockern wir die Bedingungen auf f-Divergenz und verallgemeinern die erhaltenen allgemeinen Formeln. Dann konkretisieren wir unsere allgemeinen Formeln für mehrere spezifizierte Funktionen f. Infolgedessen zeigen wir, dass es einfach ist, optimale erreichbare Raten für mehrere wichtige Maße aus unseren allgemeinen Formeln abzuleiten. Darüber hinaus wird eine Art Dualität zwischen der Auflösbarkeit und der intrinsischen Zufälligkeit in Bezug auf die glatte R\'enyi-Entropie offenbart.