Eine Flächenformel für kompakte Hypersurfaces in R^n

Abstract Die klassische Cauchy-Flächenformel besagt, dass die Oberfläche der Grenze K= ∂ K = Σ eines n-dimensionalen konvexen Körpers im n-dimensionalen euklidischen Raum R^n R n durch den Durchschnitt der projizierten Flächen von Σ entlang aller Richtungen in S^n-1 S n − 1 erhalten werden kann. In dieser Notiz verallgemeinern wir die Formel auf die Grenze beliebiger n-dimensionaler Untermannigfaltigkeiten in R^n R n, indem wir eine natürliche Notion von projizierten Flächen entlang beliebiger Richtungen in S^n-1 S n − 1 einführen. Diese von der neuen Notion abgeleitete Flächenformel stimmt nicht nur mit dem Ergebnis der Crofton-Formel überein, sondern auch mit dem von De Jong (Math. Semesterber. 60 (1): 81–83, 2013) unter Verwendung einer tubularen Nachbarschaft. Wir definieren auch die projizierten r-Volumina von Σ auf beliebige r-dimensionale Unterräume und erhalten eine rekursive Formel für die mittleren projizierten r-Volumina von Σ.