Über den Zufallssatz

Wir beweisen den Zufallssatz von Walsh für den Fall, dass der Gesamgrad eines Polynoms kleiner ist als die Anzahl der Argumente. Es wurde auch folgendes Ergebnis bewiesen: Wenn p(z) ein komplexes Polynom vom Grad n ist, dann enthält die geschlossene Scheibe D, die mindestens n-1 ihrer Nullstellen (unter Berücksichtigung der Vielfachheit) enthält, mindestens -2k+12 Nullstellen ihrer k-ten Ableitung, vorausgesetzt, dass der arithmetische Mittelwert dieser Nullstellen auch der Mittelpunkt von D ist. Außerdem beweisen wir eine Variation des klassischen Kompositionstheorems von Szegö.