Wohlgestelltheit von Keller-Segel-Systemen auf kompakten metrischen Graphen

Chemotaxis-Phänomene steuern die gerichtete Bewegung von Mikroorganismen als Reaktion auf chemische Reize. In diesem Papier untersuchen wir zwei Keller--Segel-Systeme von Reaktion-Transport-Diffusionsgleichungen, die Chemotaxis auf dünnen Netzwerken modellieren. Die Unterscheidung zwischen den beiden Systemen wird durch die Diffusionsrate des Chemoattraktanten bestimmt. Die mittlere Diffusionsrate wird durch ein gekoppeltes Paar parabolischer Gleichungen modelliert, während die schnelle Rate durch eine parabolische Gleichung in Verbindung mit einer elliptischen beschrieben wird. Unter der Annahme des polynomialen Wachstums des Chemotaxis-Sensitivitätskoeffizienten beweisen wir die lokale Wohlgestelltheit beider Systeme auf kompakten metrischen Graphen und insbesondere die Existenz einzigartiger klassischer Lösungen. Dies wird erreicht, indem wir ausreichend regelmäßige milde Lösungen über analytische Halbgruppenmethoden und die kombinatorische Beschreibung des Wärme-Kerns auf metrischen Graphen konstruieren. Die Regelmäßigkeit milder Lösungen wird durch die Anwendung abstrakter Halbgruppenergebnisse auf semi-lineare parabolische Gleichungen auf kompakten Graphen gezeigt. Darüber hinaus beweisen wir für logistische Keller--Segel-Systeme die globale Wohlgestelltheit und in einigen speziellen Fällen die globale uniforme Beschränkung der Lösungen.