Neue Schätzungen für eine Klasse von nicht-lokalen Approximationen der totalen Variation

Wir betrachten eine Klasse von nicht-lokalen Funktionalen, die kürzlich von H. Brezis, A. Seeger, J. Van Schaftingen und P.-L. Yung eingeführt wurde und eine neuartige Möglichkeit bietet, Funktionen mit beschränkter Variation zu charakterisieren. Wir geben eine positive Antwort auf eine offene Frage im Zusammenhang mit diesen Funktionalen im Fall von Funktionen mit beschränkter Variation. Insbesondere beweisen wir, dass in diesem Fall die liminf dieser Funktionale von unten durch eine lineare Kombination geschätzt werden kann, in der die drei Terme, die sich zur totalen Variation summieren (nämlich die totale Variation des absolut kontinuierlichen Teils, des Sprungteils und des Cantorteils), mit unterschiedlichen Koeffizienten erscheinen. Wir beweisen auch, dass diese Schätzung optimal ist im Fall, dass der Cantoranteil verschwindet, und wir berechnen den genauen Wert des Limits in diesem spezifischen Szenario. Im Beweis zeigen wir zunächst die Ergebnisse in Dimension eins, indem wir uns auf einige maßtheoretische Argumente stützen, um ausreichend viele disjunkte Rechtecke zu identifizieren, in denen der Differenzenquotient geschätzt werden kann, und dann erweitern wir sie auf höhere Dimensionen durch ein klassisches Abschnittsargument.