Ein funktorielle Ansatz zu Rangfunktionen auf triangulierten Kategorien

Zusammenfassung: Wir untersuchen Rangfunktionen auf einer triangulierten Kategorie 𝒞 über ihre Abelisierung mod ⁡ C modC. Wir beweisen, dass jede Rangfunktion auf 𝒞 als additive Funktion auf mod ⁡ C modC interpretiert werden kann. Infolgedessen hat jede integrale Rangfunktion eine einzigartige Zerlegung in irreduzible. Darüber hinaus stellen wir einen Zusammenhang zwischen integralen Rangfunktionen und einer Reihe wichtiger Konzepte in der Funktor-Kategorie Mod ⁡ C ModC her. Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Rangfunktionen und Funktoren von 𝒞 zu lokal endlich triangulierten Kategorien und generalisieren Ergebnisse von Chuang und Lazarev. Im speziellen Fall C = T c C=T^c für eine kompakt erzeugte triangulierte Kategorie 𝒯 wird dieser Zusammenhang besonders anschaulich und bietet eine Verbindung zwischen Rangfunktionen auf 𝒞 und smashing Lokalisationen von 𝒯. In diesem Kontext kann jede integrale Rangfunktion mit der Inversen Länge in Bezug auf bestimmte endofinite Objekte in 𝒯 beschrieben werden. Schließlich klassifizieren wir, wenn C = per ⁡ (A) C=per (A) für eine differenzial gradierte Algebra 𝐴, homologische Epimorphismen A → B A B mit per ⁡ (B) per (B) lokal endlich über spezielle Rangfunktionen, die wir idempotent nennen.