Begleitmatrix, Vandermondematrix, Jordanform, Interpolierende Polynome und lineare Transformationen

Sei F ein Körper und sei C die n n Begleitmatrix des monischen Polynoms f (x) Fx, so dass f (x) = (xI-C) = (x - ₁) ^n₁ (x - ₘ) ^nₘ für m verschiedene Elemente ₁, , ₘ F. Es wird gezeigt, dass es eine verallgemeinerte Vandermondematrix V gibt, die mit f (x) assoziiert ist, so dass VCV^-1 in Jordanform ist, und die Spalten von V^-1 sind mit den Hermite interpolierenden Polynomen verbunden, deren höhere Ableitungen an ₁, , ₘ spezifische Werte haben. Wenn m = n und n₁ = = nₘ = 1, reduziert sich das Ergebnis auf die Tatsache, dass die (klassische) Vandermonde V von ₁, , ₙ gilt, dass VCV^-1 eine Diagonalmatrix ist und dass die Spalten von V^-1 den Lagrange interpolierenden Polynomen entsprechen. Dies zeigt, dass die Ergebnisse für reelle Polynome und Matrizen auch für Polynome und Matrizen über einem beliebigen Körper F gelten. Darüber hinaus werden Interpretationen und Einsichten der Ergebnisse in Bezug auf lineare Transformationen zwischen Fⁿ und dem linearen Raum der Polynome in Fx mit einem Grad von weniger als n gegeben.