Innenraum-Multi-Peak-Lösungen für eine leicht subkritische nichtlineare Neumann-Gleichung

In diesem Papier betrachten wir das nichtlineare Neumann-Problem (Pε): −Δu+V(x)u=K(x)u(n+2)/(n−2)−ε, u>0 in Ω, ∂u/∂ν=0 auf ∂Ω, wobei Ω eine glatte, beschränkte Domäne in Rn ist, n≥4, ε eine kleine positive reelle Zahl ist und V und K nicht-konstante glatte positive Funktionen auf Ω¯ sind. Zunächst untersuchen wir das asymptotische Verhalten der Lösungen für (Pε), die an Innenpunkten explodieren, während ε gegen null geht. Insbesondere geben wir den genauen Ort der Explosionspunkte und Explosionsraten an. Diese Beschreibung des inneren Explosionsbildes der Lösungen zeigt, dass das Problem (Pε) im Gegensatz zu dem Fall, in dem K≡1 ist, keine inneren Blasenlösungen mit gruppierten Blasen hat. Zweitens konstruieren wir einfache Innenraum-Multi-Peak-Lösungen für (Pε), die uns ermöglichen, Vielfachheitsergebnisse für (Pε) bereitzustellen. Die Strategie unserer Beweise besteht darin, die Gleichung mit Vektorfeldern zu testen, was es ermöglicht, Ausgleichsbedingungen zu erhalten, die von den Konzentrationsparametern erfüllt werden. Dank einer sorgfältigen Analyse dieser Ausgleichsbedingungen konnten wir unsere Ergebnisse erzielen. Unsere Ergebnisse werden ohne irgendwelche Annahmen über die Symmetrie oder Periodizität der Funktion K bewiesen. Darüber hinaus ist keine Annahme zur Symmetrie der Domäne erforderlich.