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Aus jedem gerichteten Graphen E kann man die graph inverse Halbgruppe Formel: siehe Text konstruieren, deren Elemente, grob gesprochen, den Pfaden in E entsprechen. Wang und Luo zeigten, dass das Kongruenzlattice Formel: siehe Text für jeden Graphen E ober-semi-modular ist, aber für einige E nicht unter-semi-modular sein kann. Wir bieten eine einfache Charakterisierung der Graphen E, für die Formel: siehe Text unter-semi-modular ist. Wir beschreiben auch jene E, so dass Formel: siehe Text atomar ist, und charakterisieren die minimalen Erzeugermengen für Formel: siehe Text, wenn E endlich und einfach ist.
Anagnostopoulou‐Merkouri et al. (Sat,) haben diese Frage untersucht.
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