Freie Wahrscheinlichkeit, Pfadentwicklungen und Signaturkerne als universelle Skalierungsgrenzen

Zufällige Entwicklungen eines Pfades in eine Matrix-Lie-Gruppe GN wurden kürzlich verwendet, um signaturbasierte Kerne im Pfadraum zu konstruieren. Zwei Beispiele sind Entwicklungen in GL(N;R) und U(N;C), die allgemeine lineare bzw. unitäre Gruppen der Dimension N darstellen. Für erstere zeigte MLS23, dass der Signaturkern durch eine Skalierungsgrenze von Entwicklungen mit gaußschen Vektorfeldern erhalten wird. Der zweite Fall wurde in LLN23 verwendet, um eine Metrik zwischen Wahrscheinlichkeitsmaßen im Pfadraum zu konstruieren. Wir präsentieren eine einheitliche Behandlung zur Erlangung großer N-Grenzen unter Nutzung der Werkzeuge der Theorie der freien Wahrscheinlichkeit. Eine wichtige Schlussfolgerung ist, dass die Grenzkerne, obwohl sie von der Wahl der Lie-Gruppe abhängen, dennoch universelle Grenzen in Bezug darauf sind, wie die Entwicklungsabbildung zufällig gemacht wird. Für unitäre Entwicklungen wird der Grenzkern durch die Kontraktion einer Signatur gegen die Monome von frei unabhängigen halbzylindrischen Zufallsvariablen gegeben. Anhand der Schwinger-Dyson-Gleichungen zeigen wir, dass dieser Kern durch die Lösung einer neuartigen quadratischen Funktionalgleichung erhalten werden kann. Wir bieten ein konvergentes numerisches Verfahren für diese Gleichung an, zusammen mit Raten, das keine Berechnung der Signaturen selbst erfordert.