Höherordentliche Verbindungs-Laplacian für gerichtete simpliciale Komplexe

Höherordentliche Netzwerke kodieren die Vielkörperwechselwirkungen, die in komplexen Systemen wie dem Gehirn, Protein-Komplexen und sozialen Interaktionen bestehen. Simpliciale Komplexe sind höherordentliche Netzwerke, die eine umfassende Untersuchung des Zusammenspiels zwischen Topologie und Dynamik ermöglichen. Allerdings haben simpliciale Komplexe die Einschränkung, dass sie nur ungerichtete höherordentliche Wechselwirkungen erfassen, während es in realen Szenarien oft notwendig ist, die Richtung der simplices einzuführen, was das gängige Konzept der Richtung von Kanten erweitert. Auf Graphen und Netzwerken wird der Magnetische Laplacian, ein Spezialfall des Verbindungs-Laplacian, zu einem populären Operator, um die Kantenrichtung zu behandeln. Hier stellen wir uns der Herausforderung, gerichtete simpliciale Komplexe zu behandeln, indem wir höherordentliche Verbindungs-Laplacian formulieren, die die durch die Richtungen der simplices induzierten Konfigurationen berücksichtigen. Insbesondere definieren wir alle Verbindungs-Laplacians gerichteter simpliciale Komplexe der Dimension zwei und diskutieren die induzierten höherordentlichen Diffusionsdynamiken, indem wir aufschlussreiche synthetische Beispiele simpliciale Komplexe betrachten. Die vorgeschlagenen höherordentlichen Diffusionsprozesse können in realen Szenarien eingesetzt werden, wenn wir eine höherordentliche Diffusion in Betracht ziehen möchten, die nicht-triviale Frustrationseffekte aufgrund konkurrierender Richtungen der beteiligten simplices zeigt.