Ein wichtiges ungelöstes Problem in der diophantischen Zahlentheorie besteht darin, eine allgemeine Methode zu etablieren, um alle Lösungen einer gegebenen S-Einheitsgleichung mit mindestens vier Termen effektiv zu finden. Obwohl es viele Arbeiten gibt, die zu diesem Problem in der Literatur beitragen, von denen die meisten rein exponentielle diophantische Gleichungen behandeln, kann gesagt werden, dass sie alle nur endlich viele Gleichungen in einer natürlichen Unterscheidung lösen. In diesem Papier untersuchen wir unendlich viele rein exponentielle diophantische Gleichungen mit vier Termen aufeinanderfolgender Basen. Unser Ergebnis besagt, dass alle Lösungen der Gleichung nˣ + (n+1) ʸ + (n+2) ᶻ = (n+3) ʷ in positiven ganzen Zahlen n, x, y, z, w mit n ³ 4 gegeben sind durch (n, x, y, z, w) = (3, 3, 1, 1, 2), (3, 3, 3, 3, 3). Der Beweis verwendet elementare Kongruenzargumente, die im Studium des ternären Falls entwickelt wurden, Baker's Methode sowohl in rationalen als auch in p-adischen Fällen sowie den Algorithmus von Bertók und Hajdu, der auf einer Variante der Skolem-Vermutung über rein exponentielle Gleichungen basiert.
Takafumi Miyazaki (Sun,) untersuchte diese Frage.