Diskrete Krümmungen und konvexe Polytopen

Wir untersuchen Forman--Ricci- und effektive Widerstands-Krümmungen auf den Skeletten konvexer Polytopen. Unsere leitenden Fragen sind: Wie häufig weisen polytopale Grafen überall positive Krümmung auf, und welche strukturellen Einschränkungen bringt die Positivität mit sich? Für die Forman--Ricci-Krümmung leiten wir eine exakte Identität für die durchschnittliche Kantenkrümmung in Bezug auf Flaggen-f-Zahlen ab und zeigen die Existenz unendlicher Familien von Forman--Ricci-positiven Polytopen in jeder festen Dimension d ≥ 6. Wir beweisen Finitheitsresultate in niedrigen Dimensionen: Es gibt nur endlich viele Forman--Ricci-positive 3- und 4-Polytopen; für d=5 zeigen wir die Finitheit im simplicialen Fall und vermuten eine Erweiterung auf 5-Polytopen im Allgemeinen. Für die Widerstands-Krümmung κ(v) zeigen wir die Existenz unendlicher Familien für alle d ≥ 3 und liefern eine quantitative untere Schranke für κ(v) in einem einfachen 3-Polytop in Bezug auf die Längen der drei 2-Gesichter, die an v anstoßen. Diese Schranke führt zu Konstruktionen von nicht-vertex-transitiven, widerstands-positiven 3-Polytopen durch Δ-Operationen und einem gradbasierten Hindernis, das zeigt, dass wenn jeder Nachbar von v Grad höchstens dᵥ-2 hat, dann ist κ(v) ≥ 0. Unsere Ergebnisse legen nahe, dass positive Krümmung auf polytopalen Skeletten selten und eingeschränkt ist.