Karten zwischen Kreisbündeln: Fasererhaltend, Endlichkeit und Verwirklichung von Abbildungsgradmengen

Sei Eᵢ ein orientiertes Kreisbundle über einer geschlossenen orientierten asphärischen n-Mannigfaltigkeit Mᵢ mit Eulerklasse eᵢ H² (Mᵢ;Z), i=1, 2. Wir beweisen Folgendes: (i) Wenn jede endliche Index-Untergruppe von ₁ (M₂) einen trivialen Mittelpunkt hat, dann ist jede nicht-null Abbildung von E₁ nach E₂ homotop zu einer fasererhaltenden Abbildung. (ii) Die Abbildungsgradmenge fasererhaltender Abbildungen von E₁ nach E₂ wird gegeben durch \0\ \k deg (f) \ | \, k 0, \ f M₁ M₂ \, mit \, deg (f) 0 \ so dass\, f^\# (e₂) =ke₁\, wobei f^\# H² (M₂;Z) H² (M₁;Z) die induzierte Homomorphismus ist. Als Anwendungen von (i) und (ii) erhalten wir folgende Ergebnisse bezüglich der Endlichkeit und der Verwirklichungsprobleme für Abbildungsgradmengen: (F) Die Abbildungsgradmenge D (E₁, E₂) ist endlich, wenn M₂ hyperbolisch ist und e₂ nicht torsi ist. (R) Für jede endliche Menge A von ganzen Zahlen, die 0 enthält und jedes n>2, ist A die Abbildungsgradmenge D (M, N) für einige geschlossene orientierte n-Mannigfaltigkeiten M und N. Die Punkte (i) und (F) erweitern in allen Dimensionen 3 den zuvor bekannten 3-dimensionalen Fall (d.h. , für Abbildungen zwischen Kreisbündeln über hyperbolischen Flächen). Punkt (R) gibt eine vollständige Antwort auf das Verwirklichungsproblem für endliche Mengen (die 0 enthalten) in jeder Dimension und zeigt insbesondere die zuvor unbekannten Fälle in den Dimensionen n= 4, 5.