Dieser Preprint untersucht physikalisch informierte neuronale Netzwerke und variational physikalisch informierte neuronale Netzwerke als Approximationsmethoden für elliptische Randwertprobleme. Die Analyse nimmt eine Funktionensichtweise an, in der das Training durch Wahrscheinlichkeitsmaße beschrieben wird, die durch Parameterisierungen neuronaler Netzwerke induziert werden. Variationale Trainingsziele werden als Kontrolle schwacher Residuen in der Erwartung interpretiert, und die Konvergenz wird in Bezug auf die Konzentration dieser Maße nahe der schwachen Lösungsmenge formuliert. Für lineare, stetige, coercive elliptische Operatoren zeigt das Papier, dass der Abfall des vollständigen dualen Residuums zu einer Konzentration in Sobolev-Normen führt. Eine Residuenbeobachtungsbedingung wird eingeführt, um zu charakterisieren, wann eingeschränkte variationale Residuen das vollständige Residuum kontrollieren, analog zu Stabilitätsbedingungen in Petrov–Galerkin-Methoden. Die Ergebnisse sind unabhängig von Optimierungsdynamiken und sind als numerische Stabilitätsanalyse variationaler neuronaler Approximationen gedacht, anstatt als algorithmische oder Trainingszeitstudie.
Tamal D. Chowdhury (Fr,) hat diese Frage untersucht.