Biregular Mappings auf H×H: Bereiche der Hyperholomorphie, Integralrepräsentationen und Runge-Näherung

Wir entwickeln einen PDE- und Grenzintegralrahmen für quaternionwerte Felder auf Produktbereichen Ω⊂H×H, die vom gemischten links/rechts Cauchy–Fueter-System bestimmt werden. Wir identifizieren die natürliche Kompatibilitätsbedingung und beweisen die lokale Lösbarkeit mit quantitativen H1-Schätzungen sowie die globale schwache Lösbarkeit bei zulässigen Produkten Ux×Uy. Motiviert durch diese Schätzungen führen wir Bereiche der Hyperholomorphie und Hyperkonjugierte für Daten ein, die in jedem Faktor harmonisch sind (Δxu=Δyu=0), und stellen Carleman-typische quantitativen Werkzeuge zur einzigartigen Fortsetzung auf (Grenzwachstum, drei Kugeln und Verdopplung) vor, einschließlich eines Prinzips der Ausbreitung von Kleinheit über die beiden Faktoren hinweg. Auf der potenzialtheoretischen Seite konstruieren wir eine doppelte Grenzintegralrepräsentation für biregular Felder mit dem Kern K(ξ,η;x,y)=E(ξ−x)E(y−η), stellen Abbildungs- und Sprungbeziehungen für die zugehörigen Schichtpotenziale auf Lipschitz-Grenzen her und erhalten eine Fredholm-Grenzintegralgleichung für die Grenzdichte im glatten zulässigen Regime. Schließlich beweisen wir einen konstruktiven Runge-Näherungssatz für zulässige Produkte und skizzieren einen praktischen Diskretisierungsworkflow, der mit der Analyse übereinstimmt.