Ein tropischer Ansatz zur Starrheit: Zählen von Realisierungen von Rahmen

Eine Realisierung eines Graphen in der Ebene als Stab-Gelenk-Rahmen ist starr, wenn es nur endlich viele andere Realisierungen gibt, bis auf Isometrien, mit denselben Kantenlängen. Jede dieser endlich vielen Realisierungen kann als Lösung eines Systems quadratischer Gleichungen gesehen werden, die die Abstände zwischen Punktpaaren vorschreiben. Für generische Realisierungen hängt die Größe der Lösungsmenge nur vom zugrunde liegenden Graphen ab, sofern komplexe Lösungen zugelassen werden. Wir liefern eine Charakterisierung der Realisierungszahl – also der Kardinalität dieser komplexen Lösungsmenge – eines minimal starren Graphen. Unsere Charakterisierung verwendet tropische Geometrie, um die Realisierungszahl als Schnitt von Bergman-Fächern des grafischen Matroids auszudrücken. Daraus folgt eine kombinatorische obere Schranke für die Realisierungszahl unter Einbeziehung des Tutte-Polynoms. Zudem liefern wir rechnerische Belege, dass unsere obere Schranke in der Regel eine Verbesserung gegenüber der Schranke durch das gemischte Volumen darstellt.