Zusammenfassung: Wir untersuchen das einphasige Alt–Phillips-Freigrenzproblem und konzentrieren uns auf den Fall negativer Exponenten (-2, 0) γ ∈ (-2, 0). Ziel dieser Arbeit ist es, zwei Punkte zu behandeln. Einerseits beweisen wir die Glattheit von C^1, C 1, α-regelmäßigen Freigrenzen, indem wir das Problem auf eine Klasse degenerierter quasilinearer PDEs reduzieren, für die wir Schauder-Schätzungen aufstellen. Diese Methode bietet einen einheitlichen Beweis der Glattheit für allgemeine Exponenten. Andererseits leiten wir durch die Ausnutzung der höheren Regelmäßigkeit der Lösungen eine neue Stabilitätsbedingung für das Alt–Phillips-Problem im Rahmen negativer Exponenten ab, die das Vorhandensein von nichttrivialen axialsymmetrischen stabilen Kegeln in niedrigen Dimensionen ausschließt. Schließlich liefern wir ein Variationskriterium für die Stabilität von Kegeln im Alt–Phillips-Problem, das das für minimale Flächen im singulären Grenzwert als -2 γ → -2 wiederherstellt.
Carducci et al. (Freitag) haben diese Frage untersucht.