Spectral Mean Flow and Variance Dynamics of Completely Monotone Functions

English We study functions representable as finite positive mixtures of exponential modes, F (t) = sumₖ aₖ exp (-lambdaₖ t), and their associated effective rate r (t) = -F' (t) /F (t). We prove four exact results. (1) A universal variance identity: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, so r (t) decreases monotonically from r (0) toward the slowest mode p (stable fixed point) ; the fastest mode q is unstable. (2) A spectral support characterisation: if the measure is supported in p, q and Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) for all t, then the measure is supported on exactly p, q, so F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). The quadratic closure forces bi-atomicity. (3) A cumulant hierarchy: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) A hidden-coordinate representation: r = (p+qz) / (1+z) with z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t) — the Riccati dynamics is the projective image of a simple exponential flow. This provides a dynamical interpretation of hazard-rate evolution in exponential mixtures. Français Nous étudions les fonctions représentables comme mélanges positifs finis de modes exponentiels et le taux effectif r (t) = -F' (t) /F (t). Nous établissons quatre résultats exacts. (1) Une identité de variance universelle: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, donc r (t) décroît de r (0) vers le mode lent p (point fixe stable) ; le mode rapide q est instable. (2) Une caractérisation du support spectral: si la mesure est supportée dans p, q et si Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) pour tout t, alors la mesure est supportée sur exactement p, q, donc F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). La fermeture quadratique force la bi-atomicité. (3) Une hiérarchie de cumulants: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) Une représentation par coordonnée cachée: r = (p+qz) / (1+z) avec z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t) — la dynamique de Riccati est l'image projective d'un flot exponentiel simple. Español Estudiamos funciones representables como mezclas positivas finitas de modos exponenciales y la tasa efectiva r (t) = -F' (t) /F (t). Demostramos cuatro resultados exactos. (1) Una identidad de varianza universal: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, por lo que r (t) decrece desde r (0) hacia el modo lento p (punto fijo estable) ; el modo rápido q es inestable. (2) Una caracterización del soporte espectral: si la medida está soportada en p, q y Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) para todo t, entonces la medida está soportada en exactamente p, q, luego F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). El cierre cuadrático fuerza la bi-atomicidad. (3) Una jerarquía de cumulantes: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) Una representación por coordenada oculta: r = (p+qz) / (1+z) con z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t). Deutsch Wir untersuchen Funktionen, die als endliche positive Mischungen exponentieller Moden darstellbar sind, sowie die zugehörige effektive Rate r (t) = -F' (t) /F (t). Wir beweisen vier exakte Resultate. (1) Eine universelle Varianzidentität: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, d. h. r (t) fällt monoton von r (0) zum langsamen Modus p (stabiler Fixpunkt) ; der schnelle Modus q ist instabil. (2) Eine Charakterisierung des Spektralträgers: ist das Maß auf p, q getragen und gilt Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) für alle t, so ist das Maß genau auf p, q getragen, also F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). Der quadratische Abschluss erzwingt Bi-Atomizität. (3) Eine Kumulantenhierarchie: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) Eine verborgene-Koordinaten-Darstellung: r = (p+qz) / (1+z) mit z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t). Português Estudamos funções representáveis como misturas positivas finitas de modos exponenciais e a taxa efetiva r (t) = -F' (t) /F (t). Provamos quatro resultados exatos. (1) Uma identidade de variância universal: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, logo r (t) decresce de r (0) em direção ao modo lento p (ponto fixo estável) ; o modo rápido q é instável. (2) Uma caracterização do suporte espectral: se a medida está suportada em p, q e Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) para todo t, então a medida está suportada em exatamente p, q, portanto F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). O fechamento quadrático força a bi-atomicidade. (3) Uma hierarquia de cumulantes: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) Uma representação por coordenada oculta: r = (p+qz) / (1+z) com z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t). Italiano Studiamo funzioni rappresentabili come miscele positive finite di modi esponenziali e il tasso effettivo r (t) = -F' (t) /F (t). Dimostriamo quattro risultati esatti. (1) Un'identità di varianza universale: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, quindi r (t) decresce da r (0) verso il modo lento p (punto fisso stabile) ; il modo rapido q è instabile. (2) Una caratterizzazione del supporto spettrale: se la misura è supportata in p, q e Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) per ogni t, allora la misura è supportata esattamente su p, q, quindi F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). La chiusura quadratica forza la bi-atomicità. (3) Una gerarchia di cumulanti: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) Una rappresentazione per coordinata nascosta: r = (p+qz) / (1+z) con z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t). 中文 我们研究可表示为有限正指数模式混合的函数及其有效速率 r (t) = -F' (t) /F (t) 。我们证明四个精确结果。 (1) 普适方差恒等式: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, 故 r (t) 从 r (0) 单调递减趋向慢模式 p (稳定不动点) ;快模式 q 为不稳定不动点。 (2) 谱支撑刻画定理: 若测度支撑于 p, q 且对所有 t 有 Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r), 则测度支撑恰好在 p, q 上, 从而 F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt) 。二次闭合强制双原子性。 (3) 累积量层次: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t) 。 (4) 隐坐标表示: r = (p+qz) / (1+z), z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t) 。 日本語 指数モードの有限正混合として表現可能な関数と有効レート r (t) = -F' (t) /F (t) を研究する。四つの厳密な結果を証明する。 (1) 普遍的分散恒等式: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0、よって r (t) は r (0) から遅いモード p (安定不動点) へ単調減少する;速いモード q は不安定不動点。 (2) スペクトル台の特徴づけ: 測度が p, q に台をもち、すべての t に対して Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) が成立するならば、測度は恰好 p, q に台をもつ、すなわち F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt) 。二次閉包は双原子性を強制する。 (3) キュムラント階層: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t) 。 (4) 隠れ座標表現: r = (p+qz) / (1+z) 、z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t) 。 Русский Мы изучаем функции, представимые как конечные положительные смеси экспоненциальных мод, и связанную эффективную скорость r (t) = -F' (t) /F (t). Доказываются четыре точных результата. (1) Универсальное тождество дисперсии: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0, то есть r (t) монотонно убывает от r (0) к медленной моде p (устойчивая неподвижная точка) ; быстрая мода q — неустойчивая точка. (2) Характеризация спектрального носителя: если мера сосредоточена на p, q и Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) для всех t, то мера сосредоточена ровно на p, q, откуда F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). Квадратичное замыкание вынуждает двухатомность. (3) Иерархия кумулянтов: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) Скрытая координата: r = (p+qz) / (1+z), z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t). العربية ندرس الدوال القابلة للتمثيل كمزيج موجب منتهٍ من الأنماط الأسية والمعدل الفعلي r (t) = -F' (t) /F (t). نثبت أربعة نتائج دقيقة. (1) هوية التباين العالمية: r' (t) = -Varₜ (lambda) <= 0، أي أن r (t) يتناقص بصورة رتيبة من r (0) نحو النمط البطيء p (النقطة الثابتة المستقرة) ؛ النمط السريع q نقطة غير مستقرة. (2) توصيف الحامل الطيفي: إذا كان الحامل في p, q وتحقق Varₜ (lambda) = (r-p) (q-r) لكل t، فإن الحامل يقع بالضبط على p, q، ومن ثم F (t) = A exp (-pt) + B exp (-qt). الإغلاق التربيعي يفرض الثنائية الذرية. (3) التسلسل الهرمي للمجموعات: r^ (n) (t) = (-1) ⁿ kappa₍+₁ (t). (4) تمثيل الإحداثي المخفي: r = (p+qz) / (1+z) ، z (t) = (B/A) exp (- (q-p) t).