Algebraische Codierungstheorie

Die vorliegende Untersuchung befasst sich mit quadratischen Restcodes, quasizyklischen Binärcodes und Symmetriecodes. Wir zeigen, wie ein solcher Code als Ideal in einer Algebra betrachtet werden kann, die von einer Gruppe von Automorphismen des Codes erzeugt wird. Anschließend verwenden wir die Algebra, um eine Quadratwurzel-Beschränkung für das minimale Gewicht des Codes aufzustellen. Wir beginnen mit dem Beweis, dass jeder lineare Code als Ideal in einem geeigneten Polynomring betrachtet werden kann. In Kapitel 2 präsentieren wir die erweiterten quadratischen Restcodes der Länge (q + 1), wobei q eine ungerade Primzahlpotenz ist. Diese Codes konstruieren wir auf elementare Weise aus Darstellungen der speziellen linearen Gruppe SL2(q). Anschließend stellen wir eine Quadratwurzel-Beschränkung für das minimale Gewicht bei den von V. K. Bhargava, S. E. Tavares und S.G.S. Shiva konstruierten quasizyklischen Binärcodes auf. Diese Schranke ist scharf und wird nur vom [8,4,4] Hamming-Code erreicht. Dieses Ergebnis beantwortet eine Frage, die von F. J. MacWilliams und N.J.A. Sloane in „The Theory of Error-Correcting Codes“ aufgeworfen wurde. Der Beweis beruht darauf, diese Binärcodes als Ideale in einer Gruppenalgebra über GF(4) zu betrachten. In Kapitel 4 erweitern wir die von V. Pless gegebene Konstruktion von Symmetriecodes auf Körper außerhalb von GF(3). Für eine ungerade Primzahlpotenz q und einen endlichen Körper F ungerader Charakteristik, der √-q enthält, konstruieren wir einen 2q + 2, q + 1 Symmetriecode über F. Wir stellen eine Quadratwurzel-Beschränkung für das minimale Gewicht in dieser erweiterten Familie von Symmetriecodes auf. Wenn q ≡ -1 (mod 4), ist diese Schranke scharf und wird von einem [8,4,4] Code über GF(7) erreicht. Schließlich sei q ≡ -1 (mod 8) eine ungerade Primzahlpotenz und C(q) sowie C(q)* die beiden erweiterten binären quadratischen Restcodes der Länge (q + 1). Wir zeigen, wie C(q) und C(q)* als einseitige Ideale in einer binären Gruppenalgebra betrachtet werden können und dass das geeignete Produkt ein zweidimensionales Ideal ergibt. Dies erlaubt uns zu beweisen, dass wenn d das minimale Gewicht in C(q) ist, dann (d - 1)² - (d - 1) + 1 - s t ≥ q gilt, wobei s, t nicht-negative ganze Zahlen mit s ≡ 0 (mod 4) und t ungerade sind. Die Zahlen s und t hängen davon ab, wie die nicht-null Einträge eines Codeworts mit minimalem Gewicht auf die Koordinatenpositionen verteilt sind. Wir beweisen, dass (d - 1)² - (d - 1) + 1 = q nur gilt, wenn q = 7 und d = 4 ist. Wenn s = 0 ist, stellen wir eine Korrespondenz zwischen Codewörtern mit minimalem Gewicht d in C(q) und d x d Hadamard-Untermatrizen der (q + 1) x (q + 1) Paley-Hadamard-Matrix her.