Quantenfeldtheorie der Gravitation. I. Die kanonische Theorie

Nach einer historischen Einführung wird die herkömmliche kanonische Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie präsentiert. Der kanonische Lagrangian wird in Bezug auf die extrinsischen und intrinsischen Krümmungen der Hyperebene x^0=konstant ausgedrückt, und die Beziehung zur asymptotischen Feldenergie in einer unendlichen Welt wird angemerkt. Die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Welten wird betont. In der Quantentheorie werden die primären und sekundären Einschränkungen zu Bedingungen für den Zustandsvektor, und im Falle endlicher Welten bestimmen allein diese Bedingungen die Dynamik. Ein Lösungsvorschlag für das Problem der Faktorordnung wird unterbreitet, und die Konsistenz der Einschränkungen wird demonstriert. Eine 6-dimensionale hyperbolische Riemannsche Mannigfaltigkeit wird eingeführt, die für ihren Metrik den Koeffizienten der Impulse in der Hamiltonschen Einschränkung nimmt. Die geodätische Unvollständigkeit dieser Mannigfaltigkeit, bedingt durch die Existenz einer Grenze unendlicher Krümmung, wird demonstriert. Die Möglichkeit wird untersucht, diese Mannigfaltigkeit mit einer unendlich-dimensionalen Mannigfaltigkeit von 3-Geometrien in Verbindung zu bringen und die Struktur letzterer Mannigfaltigkeit wiederum mit dem dynamischen Verhalten von Raum-Zeit zu verknüpfen. Das Problem wird durch die WKB-Näherung und die Hamilton-Jacobi-Theorie angegangen. Einsteins Gleichungen werden als geodätische Gleichungen in der Mannigfaltigkeit der 3-Geometrien enthüllt, modifiziert durch das Vorhandensein eines "Kraftterms." Das klassische Phänomen des gravitativen Kollapses zeigt, dass der Kraftterm nicht stark genug ist, um die Bahn der Raum-Zeit daran zu hindern, in die Grenze zu laufen. Das bislang ungelöste Problem, zu bestimmen, wann das Kollapsphänomen eine echte Barriere für den Funktional des quantenmechanischen Zustands darstellt, wird kurz besprochen, und eine Randbedingung an der Barriere wird vorgeschlagen. Der Zustandsfunktional einer endlichen Welt kann nur von der 3-Geometrie der Hyperebene x^0=konstant abhängen. Das Label x^0 selbst ist irrelevante, und "Zeit" muss intrinsisch bestimmt werden. Eine natürliche Definition für das innere Produkt von zwei solchen Zustandsfunktionalen wird eingeführt, das jedoch Schwierigkeiten mit negativen Wahrscheinlichkeiten aufgrund der Randbedingung an der Barriere begegnet. Um diese Schwierigkeiten zu lösen, wird ein vereinfachtes Modell, das quantisierte Friedmann-Universum, im Detail untersucht. Um nichtstatische Wellenfunktionen zu erhalten, die einem sich entwickelnden Universum ähneln, ist es notwendig, eine Uhr einzuführen. Damit die kombinierten Wellenfunktionen von Universum und Uhr normalisierbar sind, stellt sich heraus, dass die Perioden von Universum und Uhr miteinander verknüpft sein müssen. Wellenpakete, die quasiklassisches Verhalten zeigen, werden konstruiert, und es wird auf den phänomenologischen Charakter von "Zeit" hingewiesen. Die Definition des inneren Produkts wird aus ihren Schwierigkeiten mit negativen Wahrscheinlichkeiten gerettet, indem man das Faktum nutzt, dass Wahrscheinlichkeiten in einem geschlossenen endlichen Kreis im Konfigurationsraum fließen. Der Artikel endet mit einigen Spekulationen über die Einzigartigkeit des Zustandsfunktionals des tatsächlichen Universums. Es wird vorgeschlagen, einen Standpunkt von Everett in seiner Interpretation zu übernehmen.