Wie viele Einträge einer typischen orthogonalen Matrix können durch unabhängige Normalverteilungen approximiert werden?

Wir lösen ein offenes Problem von Diaconis, das fragt, welche die größten Ordnungen von pn und qn sind, so dass Zn, der pn×qn obere linke Block einer Zufallsmatrix Γn, die gleichmäßig auf der orthogonalen Gruppe O (n) verteilt ist, durch unabhängige Standardnormalverteilungen approximiert werden kann? Dieses Problem wird durch zwei verschiedene Approximationsmethoden gelöst. Erstens zeigen wir, dass der Variationsabstand zwischen der gemeinsamen Verteilung der Einträge von Zn und der von pnqn unabhängigen Standardnormalverteilungen zu null geht, vorausgesetzt p₍=o (n\, ) und q₍=o (n\, ). Wir zeigen auch, dass der oben genannte Variationsabstand nicht zu null geht, wenn p₍=xn\, und q₍=yn\, für beliebige positive Zahlen x und y. Das bedeutet, dass die größten Ordnungen von pn und qn o (n1/2) im Sinne der obigen Approximation sind. Zweitens, nehmen wir an, Γn= (γij) n×n wird erzeugt, indem man den Gram-Schmidt-Algorithmus auf die Spalten von Yn= (yij) n×n anwendet, wobei yij;1≤i, j≤n i. i. d. Standardnormalverteilungen sind. Wir zeigen, dass ₍ (m): =₁ ₈ ₍, ₁ ₉ ₌|n₈₉-y₈₉| in Wahrscheinlichkeit gegen null geht, solange m=mn=o (n/logn). Wir beweisen auch, dass ₍ (m₍) 2 in Wahrscheinlichkeit gilt, wenn mn=nα/logn für beliebige α>0. Das bedeutet, dass mn=o (n/logn) die größte Ordnung ist, so dass die Einträge der ersten mn Spalten von Γn gleichzeitig durch unabhängige Standardnormalverteilungen approximiert werden können.