Eine Übersicht über die aktuelle Arbeit zu Harmonischen und Contragenics auf Sphäroiden

Zusammenfassung Harmonische Funktionen im dreidimensionalen euklidischen Raum verbergen eine subtile und unerwartete Struktur. Im Gegensatz zu ihren Gegenstücken in der komplexen Ebene oder im quaternionischen Raum können sie im Allgemeinen nicht einmal lokal in die Summe einer monogenen und einer antimonogenen Funktion zerlegt werden. Dieses Versagen führt zu „Contragenics“ – harmonischen Funktionen, die im L² L 2 -orthogonalen Komplement des Raumes aller solcher Summen liegen. Diese Übersicht verfolgt die Entwicklung der Theorie der Contragenics in Stufen. Sie beginnt mit den sphäroiden Harmoniken, sowohl intern als auch extern, auf sphäroiden Bereichen beliebiger Exzentrizität. Auf diesen aufbauend konstruieren wir gradierte einparametrige orthogonale Basen von sphäroiden Monogenics und Ambigenics, wobei wir ihre algebraische Struktur und das Grenzverhalten betonen, die die Geometrie des zugrunde liegenden Sphäroids widerspiegeln. Contragenics tauchen dann zuerst im Inneren sphäroider Bereiche und später sowohl im Inneren als auch im Äußeren der Einheitssphäre auf, wo sie eine reichere L² L 2 -orthogonale Zerlegung harmonischer Funktionen in der quaternionischen Analyse auf dreidimensionalen, einfach zusammenhängenden, unbeschränkten euklidischen Bereichen liefern. Schließlich erweitern wir den Rahmen auf das Äußere sphäroider Bereiche, wo logarithmische Terme eingreifen und die Theorie weiter bereichern.