Die Methoden der Skalierung und Quadratur für die Matrixexponentialfunktion neu betrachtet

Die Methoden der Skalierung und Quadratur sind die am häufigsten verwendeten Methoden zur Berechnung der Matrixexponentialfunktion, nicht zuletzt weil sie in der expm-Funktion von MATLAB implementiert sind. Die Methode skaliert die Matrix um eine Potenz von 2, um die Norm auf Grad 1 zu reduzieren, berechnet einen Padé-Approximation zur Matrixexponentialfunktion und quadriert dann wiederholt, um den Effekt der Skalierung rückgängig zu machen. Wir geben eine neue Rückfehleranalyse der Methode (in exakter Arithmetik), die scharfe Schranken für die Truncationsfehler verwendet und zu einer Implementierung führt, die im Wesentlichen optimal effizient ist. Darüber hinaus geben wir eine neue Analyse der Rundungsfehler, die zeigt, dass die berechnete Padé-Approximation der skalierten Matrix hochgenau ist. Für die IEEE-Doppelpräzisionsarithmetik stellt sich heraus, dass der beste Grad der Padé-Approximation 13 ist, anstelle der von früheren Autoren verwendeten 6 oder 8. Unsere Implementierung der Skalierungs- und Quadraturmethoden erfordert immer mindestens zwei Matrizenmultiplikationen weniger als expm, wenn die Matrixnorm 1 übersteigt, was eine Einsparung von bis zu 37 % bei der Anzahl der Multiplikationen ausmachen kann, und sie ist in der Regel genauer, da weniger Quadrierungen erforderlich sind. Wir untersuchen auch einen anderen Algorithmus zur Skalierung und Quadratur, der von Najfeld und Havel vorgeschlagen wurde und eine Padé-Approximation für die Funktion x (x) verwendet. Es stellt sich heraus, dass diese Methode im Wesentlichen eine Variation der Standardmethode mit schwächerer Unterstützungsfehleranalyse ist.