Analyse der Grenzverhältnisse spezieller Folgen

In diesem Papier haben wir das Grenzverhältnis des (n+1)-ten Terms zum n-ten Term berühmter Folgen in der Mathematik bestimmt, wie der Fibonacci-Folge, der Fibonacci-ähnlichen Folge, der Pell-Folge, der generalisierten Fibonacci-Folge, der Padovan-Folge, der generalisierten Padovan-Folge, der Narayana-Folge, der generalisierten Narayana-Folge, generalisierten Rekursionsrelationen der Fibonacci-ähnlichen Folge, polygonalen Zahlen, der Katalan-Folge, Cayley-Zahlen, harmonischen Zahlen und Partition-Zahlen. Wir definieren dieses Verhältnis als das Grenzverhältnis der entsprechenden Folge. Sechzehn verschiedene Klassen spezieller Folgen werden in diesem Papier betrachtet, und wir haben die Grenzverhältnisse für jede von ihnen bestimmt. Insbesondere haben wir gezeigt, dass die Grenzverhältnisse der Fibonacci-Folge und der Fibonacci-ähnlichen Folge die faszinierende reelle Zahl ist, die als Goldener Schnitt bekannt ist, der ungefähr 1.618 beträgt. Wir haben gezeigt, dass das Grenzverhältnis der Pell-Folge eine reelle Zahl ist, die als Silberner Schnitt bezeichnet wird, und die Grenzverhältnisse für die generalisierte Fibonacci-Folge sind metallische Verhältnisse. Wir haben auch die Grenzverhältnisse der Padovan- und der generalisierten Padovan-Folge ermittelt. Das Grenzverhältnis der Narayana-Folge ist eine Zahl, die als super Goldener Schnitt bezeichnet wird, und zwar ungefähr 1.4655. Wir haben gezeigt, dass die Grenzverhältnisse der generalisierten Narayana-Folge die Zahlen bekannt als super metallische Verhältnisse sind. Wir haben auch gezeigt, dass das Grenzverhältnis der generalisierten Rekursionsrelation vom Fibonacci-Typ 2 ist und das der polygonalen Zahlen und harmonischen Zahlen 1 beträgt. Wir haben bewiesen, dass das Grenzverhältnis der berühmten Katalan-Folge und der Cayley-Zahlen 4 ist. Schließlich haben wir, basierend auf Rademachers Formel, gezeigt, dass das Grenzverhältnis der Partition-Zahlen die natürliche logarithmische Basis e ist. Wir haben vierzehn Theoreme bewiesen, um die Grenzverhältnisse verschiedener bekannter Folgen in diesem Papier abzuleiten. Aus diesen Werten der Grenzverhältnisse können wir das asymptotische Verhalten der Terme all dieser interessanten Zahlenfolgen in der Mathematik verstehen. Die Werte der Grenzverhältnisse bieten auch die Möglichkeit, in zahlreichen Zähl- und praktischen Problemen angewendet zu werden.