Aktuelle Entwicklungen zum Potenzgrafen endlicher Gruppen – eine Übersicht

Die algebraische Graphentheorie ist das Studium des Zusammenspiels zwischen algebraischen Strukturen (sowohl abstrakten als auch linearen Strukturen) und der Graphentheorie. Viele Konzepte der abstrakten Algebra wurden durch den Bau von Graphen erleichtert, die als Werkzeuge in der Informatik verwendet werden. Umgekehrt hat die Graphentheorie auch dazu beigetragen, bestimmte algebraische Eigenschaften abstrakter algebraischer Strukturen zu charakterisieren. In dieser Übersicht heben wir das reiche Zusammenspiel zwischen den beiden Themen, nämlich Gruppen und Potenzgraphen von Gruppen, hervor. Im letzten Jahrzehnt wurden umfassende Beiträge zur Untersuchung von Potenzgraphen geleistet. Unser Hauptmotiv ist es, eine vollständige Übersicht über die Zusammenhängigkeit von Potenzgraphen und ordentlichen Potenzgraphen, das Laplacian und das Adjazenzspektrum von Potenzgraphen, Isomorphismen und Automorphismen von Potenzgraphen sowie die Charakterisierung von Potenzgraphen in Bezug auf Gruppen bereitzustellen. Neben der Übersicht über Ergebnisse enthält dieses Papier auch einige neue Materialien, wie den Inhalt von Abschnitt 2 (der den interessanten Fall des Potenzgraphen der Mathieu-Gruppe M11 beschreibt) und Abschnitt 6.1 (in dem Bedingungen diskutiert werden, damit der reduzierte Potenzgraph nicht zusammenhängend ist). Wir schließen dieses Papier mit der Präsentation einer Reihe offener Probleme und Vermutungen zu Potenzgraphen ab.