Energielevel und Wellenfunktionen von Bloch-Elektronen in rationalen und irrationalen Magnetfeldern

Ein effektiver eindimensionaler Hamiltonian, der ein Kristallelektron in einem homogenen Magnetfeld beschreibt, wird aus der Tight-Binding-Form eines Bloch-Bandes konstruiert, indem k durch den Operator p-e{A}c ersetzt wird. Die resultierende Schrödinger-Gleichung wird zu einer endlichen Differenzgleichung, deren Eigenwerte durch ein Matrixverfahren berechnet werden können. Der magnetische Fluss, der durch eine Gitternutzelle passiert, geteilt durch ein Flussquant, ergibt einen dimensionslosen Parameter, dessen Rationalität oder Irrationalität die Natur des berechneten Spektrums stark beeinflusst. Der Graph des Spektrums über einen breiten Bereich "rationaler" Felder wird dargestellt. Eine rekursive Struktur wird im Graph entdeckt, die es ermöglicht, eine Reihe von Theoremen zu beweisen, die insbesondere die Frage der Stetigkeit betreffen. Die rekursive Struktur ähnelt der von Azbel' vorhergesagten, die eine fortgesetzte Bruchdarstellung für den dimensionslosen Parameter verwendet. Ein iterativer Algorithmus zur Ableitung des Cluster-Musters der magnetischen Unterbänder wird gegeben, der aus der rekursiven Struktur folgt. Aus diesem Algorithmus kann die Natur des Spektrums in einem "irrationalen" Feld abgeleitet werden; es wird als eine überabzählbare, aber maßlosige Menge von Punkten (ein Cantor-Set) angesehen. Trotz dieser Merkmale wird gezeigt, dass der Graph stetig ist, während das Magnetfeld variiert. Es wird auch gezeigt, wie ein Spektrum mit vereinfachten Eigenschaften aus dem rigoros abgeleiteten Spektrum abgeleitet werden kann, indem eine Streuung der Feldwerte eingeführt wird. Dieses Spektrum erfüllt alle intuitiv wünschenswerten Eigenschaften eines Spektrums. Das hier vorgestellte Spektrum stimmt mit dem vorhergesagten von A. Rauh in einem völlig anderen Modell für Kristallelektronen in einem Magnetfeld überein. Eine neue Art von magnetischem "Supergitter" wird eingeführt, das so konstruiert ist, dass seine Einheitszelle exakt ein Quanten von Fluss abfängt. Es wird gezeigt, dass diese Zelle die Periodizität der Lösungen der Differenzgleichung darstellt. Es wird auch gezeigt, wie dieses Supergitter die Bestimmung der Wellenfunktion an nicht-positionierten Stellen ermöglicht. Es wird ein Hinweis darauf angeboten, dass die Wellenfunktionen, die zu irrationalen Feldern gehören, überall definiert und in diesem Modell kontinuierlich sind, während diejenigen, die zu rationalen Feldern gehören, nur auf einer diskreten Menge von Punkten definiert sind. Eine Methode zur experimentellen Untersuchung dieser Vorhersagen wird skizziert.