Eine Grundlage für die Auswahl eines Response Surface Designs

Zusammenfassung Das allgemeine Problem wird betrachtet, ein Design zu wählen, so dass (a) das Polynom f(ξ) = f(ξ1, ξ2, · · ·, ξ k ) in den k kontinuierlichen Variablen ξ' = (ξ1, ξ2, · · ·, ξ k ) durch die Methode der kleinsten Quadrate die wahre Funktion g(ξ1, ξ2, · · ·, ξ k ) über eine „Region von Interesse“ R im ξ-Raum am besten repräsentiert, ohne Einschränkungen, dass die experimentellen Punkte notwendigerweise innerhalb von R liegen müssen; und (b) unter der Bedingung, dass (a) erfüllt ist, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass die Unzulänglichkeit von f(ξ), g(ξ) zu repräsentieren, erkannt wird. Wenn die Beobachtungen Fehler unterliegen, treten Abweichungen zwischen dem angepassten Polynom und der wahren Funktion auf: i. aufgrund von Stichprobenfehler (hier „Varianzfehler“ genannt), und ii. aufgrund der Unzulänglichkeit des Polynoms f(ξ), g(ξ) genau darzustellen (hier „Bias-Fehler“ genannt). Um die Anforderung (a) zu erfüllen, wird das Design so ausgewählt, dass J, der erwartete mittlere quadratische Fehler, durchschnittlich über die Region R minimiert wird. J enthält zwei Komponenten, eine, die vollständig mit Varianzfehler assoziiert ist, und die andere, die vollständig mit Bias-Fehler assoziiert ist. Es gibt eine Klasse von Designs, die die Anforderung (a) erfüllen. Um die Anforderung (b) zu erfüllen, wählen wir aus dieser Klasse eine Teilklasse aus, für die der „non-centrality term“ in der Erwartung der Residualquadratsumme in der Varianzanalyse groß ist. Dies führt zu einem empfindlichen Test der Anpassungsgüte. In diesem Papier wird die Theorie auf den speziellen Fall angewendet, in dem f(ξ) ein Polynom ersten Grades und g(ξ) ein Polynom zweiten Grades ist; das heißt, der Experimentator versucht hoffentlich, eine Gleichung ersten Grades über die Region R in den Umständen anzupassen, in denen die wahre Funktion tatsächlich quadratisch ist. Die etwas unerwartete Schlussfolgerung ist, dass, zumindest in den betrachteten Fällen, das optimale Design in typischen Situationen, in denen sowohl Varianz als auch Bias auftreten, nahezu dasselbe ist wie das, was erzielt würde, wenn die Varianz vollständig ignoriert und das Experiment so gestaltet würde, dass nur der Bias minimiert wird. Besondere Beispiele der abgeleiteten Klasse optimaler Designs sind fraktionierte, replizierte Zwei-Niveaus-Faktoriellen Designs (in denen keine Wechselwirkung zwischen zwei Faktoren mit dem Haupteffekt konfundiert ist) mit hinzugefügten Mittelpunktpunkten.