Integraldarstellungen von Größen, die mit der Gamma-Funktion assoziiert sind

Wir untersuchen eine Reihe von Fragen, die mit integralen Darstellungen von Gamma-Funktionen und ihren Quotienten zusammenhängen. Die Grundlage unserer Studie bilden zwei klassische Ergebnisse in der Theorie der Funktionen. Eines davon ist die bekannte erste Binet-Formel, das andere die weniger bekannte Malmsten-Formel. Diese speziellen Formeln drücken die Werte der Gamma-Funktion in einer offenen rechten Halbebene über entsprechende uneigentliche Integrale aus. In dieser Arbeit zeigen wir, dass beide Ergebnisse auf die imaginäre Achse außer für den Punkt = 0 erweitert werden können. Unter dieser Erweiterung wenden wir verschiedene Methoden der reellen und komplexen Analyse an. Insbesondere erhalten wir integrale Darstellungen für das Argument der komplexen Größe, die den Wert der Gamma-Funktion an einem rein imaginären Punkt darstellt. Auf der Grundlage der genannten Malmsten-Formel an den Punkten = 0 in der geschlossenen rechten Halbebene liefern wir eine detaillierte Ableitung der integralen Darstellung für einen speziellen Quotienten, der über die Gamma-Funktion ausgedrückt wird: () ( + 1 2 )/( + 1). Diese Tatsache an der positiven Halbachse wurde in einer kleinen Notiz von Duan Slavi im Jahr 1975 ohne den Beweis erwähnt. In derselben Arbeit gab er zweiseitige Schätzungen für die Größe () als > 0 und an den natürlichen Punkten () übereinstimmend mit dem normalisierten zentralen binomialen Koeffizienten. Diese Schätzungen bedeuten, dass () an der positiven Halbachse von seiner asymptotischen Reihe umschlossen ist.