Nichtparametrische Schätzung aus unvollständigen Beobachtungen

Zusammenfassung In der Lebensdauerprüfung, der medizinischen Nachverfolgung und in anderen Bereichen kann die Beobachtung des Zeitpunkts des Auftretens des interessierenden Ereignisses (genannt Tod) für einige der Elemente der Stichprobe durch das vorherige Auftreten eines anderen Ereignisses (genannt Verlust) verhindert werden. Verluste können entweder zufällig oder kontrolliert sein, wobei Letzteres aus einer Entscheidung resultiert, bestimmte Beobachtungen zu beenden. In beiden Fällen wird in diesem Papier normalerweise angenommen, dass die Lebensdauer (Alter beim Tod) unabhängig von der potenziellen Verlustzeit ist; in der Praxis verdient diese Annahme eine sorgfältige Prüfung. Trotz der resultierenden Unvollständigkeit der Daten wird angestrebt, den Anteil P(t) der Elemente in der Population zu schätzen, deren Lebensdauern t überschreiten würden (in Abwesenheit solcher Verluste), ohne Annahmen über die Form der Funktion P(t) zu treffen. Es wird vorausgesetzt, dass für jedes Element ein geeignetes Anfangsereignis beobachtet wird, das den Beginn seiner Lebensdauer markiert. Für Zufallsstichproben der Größe N kann die Produkt-Limit (PL) Schätzung wie folgt definiert werden: Listen und kennzeichnen Sie die N beobachteten Lebensdauern (ob zum Tod oder Verlust) in aufsteigender Reihenfolge, sodass man 0≤t 1ǐ≤t 2ǐ≤ … ≤t N ǐ hat. Dann ist P(t)= II. (N – r)/(N – r + 1), wobei r jene Werte annimmt, für die tr ≤t gilt und für die tr ǐ die Zeit bis zum Tod misst. Diese Schätzung ist die Verteilung, die in Bezug auf die Form uneingeschränkt ist und die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungen maximiert. Weitere diskutierte Schätzungen sind die sterblichkeitsmäßigen Schätzungen (die ebenfalls Produkte sind, jedoch mit der Anzahl der Faktoren, die üblicherweise durch Gruppierung reduziert wird); und reduzierte Stichproben (RS) Schätzungen, die erfordern, dass Verluste nicht zufällig sind, sodass die Beobachtungsgrenzen (potenzielle Verlustzeiten) sogar für jene Elemente bekannt sind, deren Todesfälle beobachtet werden. Wenn keine Verluste in Altersgruppen unter t auftreten, reduziert sich die Schätzung von P(t) in allen Fällen auf die übliche binomiale Schätzung, nämlich den beobachteten Anteil der Überlebenden.