Ein neues dichtebasiertes Verfahren zur Topologieoptimierung für Stokes-Strömung

Eine neue Methode zur Durchführung der dichtebasierten Topologieoptimierung für Stokes-Strömung wird vorgestellt. Sie unterscheidet sich von früheren Ansätzen durch die Art, wie das zugrundeliegende gemischtganzzahlige Problem entspannt wird, und durch die Wahl des Raums, in dem die die Topologie beschreibende Dichte lebt. Erste numerische Experimente, bei denen \(H^{1}\) für die Dichte und eine Diskretisierung mittels stetiger stückweise linearer Finitelemente verwendet wurden, zeigten unbefriedigende Konvergenzeigenschaften moderner Optimierungslöser. Dies motivierte die Arbeit in diesem Beitrag, welche Lösungen für diese Schwierigkeiten vorschlägt. Wir präsentieren eine theoretisch fundierte neue Problemformulierung basierend auf einem Raum für die Dichte, der Sprünge entlang von Hyperflächen zulässt, wie etwa BV- oder Sobolev-Räume fraktionaler Ordnung. Wir erweitern die bestehende Theorie für die verallgemeinerten Stokes-Gleichungen und untersuchen die auftretenden Optimierungsprobleme hinsichtlich Existenz von Lösungen, Differenzierbarkeit und Konvergenz von entspannten Lösungen hin zu Lösungen des Originalproblems. Wir motivieren eine lokalisierte Sobolev-Norm fraktionaler Ordnung als Approximation der \(BV\)-Norm für Funktionen mit Werten in \(1\) und diskutieren deren Diskretisierung mittels stückweise konstanter Finitelemente. Aufbauend auf diesen theoretischen Ergebnissen stellen wir einige numerische Realisierungen vor und zeigen rechnerische Ergebnisse. Stichwörter: Topologieoptimierung, Phasenfeldansätze, Stokes-Strömung, dichtebasierte Ansätze, MSC-Codes 35R30 49J20 49Q10 65K10