Analytische Eigenschaften von Bloch-Wellen und Wannier-Funktionen

Die eindimensionale Schrödinger-Gleichung mit einem periodischen und symmetrischen Potential wird betrachtet, unter der Annahme, dass sich die Energiebänder nicht schneiden. Die Bloch-Wellen, ₍, ₊, und Energiebänder, E₍, ₊, werden als Funktionen der komplexen Variablen k untersucht. Im komplexen Bereich sind sie Äste mehrwertiger analytischer und periodischer Funktionen, ₊, und E₊, mit Verzweigungspunkten, k^', die von der reellen Achse abweichen. Es wird ein einfaches Verfahren beschrieben, um die Verzweigungspunkte zu lokalisieren. Die Anwendung erfolgt auf die Entwicklung von Potenzreihen und Fourier-Reihen dieser Funktionen. Die Analytizität und Periodizität von ₍, ₊ hat einige Konsequenzen für die Form der Wannier-Funktionen. Insbesondere wird gezeigt, dass für jedes Band genau eine Wannier-Funktion existiert, die reell, symmetrisch oder antisymmetrisch unter einer geeigneten Reflexion ist und mit der Entfernung exponentiell abfällt. Die Rate des Abfalls wird durch die Entfernung der Verzweigungspunkte k^' von der reellen Achse bestimmt.