Globale Theorie der Einfrequenz-Schrödinger-Operatoren

Wir untersuchen Schrödinger-Operatoren mit einem einfrequenten analytischen Potential und konzentrieren uns auf den Übergang zwischen den zwei unterschiedlichen lokalen Regimen, die jeweils für große und kleine Potentiale charakteristisch sind. Aus dynamischer Sicht signalisiert der Übergang das Auftreten einer nicht-einheitlichen Hyperbolizität, sodass die Abhängigkeit des Lyapunov-Exponenten von den Parametern eine zentrale Rolle in der Analyse spielt. Obwohl oft nach konventionellen Maßstäben schlechtartig, zeigen wir, dass der Lyapunov-Exponent tatsächlich bemerkenswert regelmäßig im „stratifizierten Sinne“ ist, den wir definieren: Die Unregelmäßigkeit ergibt sich aus der Übereinstimmung schöner (analytischer oder glatter) Funktionen entlang von Mengen mit komplizierter Geometrie. Dieses Ergebnis ermöglicht es uns zu zeigen, dass die „kritische Menge“ für den Übergang innerhalb von abzählbar vielen Codimension-eins-Subvarietäten des (unendlichen-dimensionalen) Parameterraums liegt. Eine verfeinerte, auf Renormalisierung basierende Analyse zeigt, dass die kritische Menge innerhalb dieser Subvarietäten eher dünn ist und erlaubt uns zu folgern, dass ein typisches Potential keine kritischen Energien hat. Solche acriticalen Potentiale bilden ebenfalls eine offene Menge und haben mehrere interessante Eigenschaften: Es können nur endlich viele „Phasenübergänge“ stattfinden, jedoch niemals an einem bestimmten Punkt im Spektrum, und der Lyapunov-Exponent ist in dem Bereich des Spektrums, in dem er positiv ist, nach unten begrenzt. Andererseits zeigen wir, dass die Anzahl der Phasenübergänge beliebig groß sein kann. Schlüssel zu unserem Ansatz sind zwei Ergebnisse über die Abhängigkeit des Lyapunov-Exponenten von einfrequenten SL(2,C) Koketten hinsichtlich Störungen in der imaginären Richtung: Einerseits gibt es eine strenge „Quantisierungs“-Einschränkung, andererseits charakterisiert die „Regelmäßigkeit“ der Abhängigkeit die uniforme Hyperbolizität, wenn der Lyapunov-Exponent positiv ist. Unsere Methode ist unabhängig von arithmetischen Bedingungen auf der Frequenz.