Krylov-Fraktalität und Komplexität in allgemeinen Zufalls-Matrix-Ensembles

Krylov-Raum-Methoden bieten einen effizienten Rahmen zur Analyse der statischen und dynamischen Aspekte von Quantensystemen, wobei tridiagonale Matrizen eine Schlüsselrolle spielen. Trotz ihrer Bedeutung bleibt das Verhalten solcher Matrizen von chaotischen zu integrablen Zuständen, das über eine Zwischenphase verläuft, unerforscht. Wir beabsichtigen, diese Lücke zu schließen, indem wir die Eigenschaften der tridiagonalen Matrizen-Elemente und die zugehörigen Basisvektoren für geeignete Zufalls-Matrix-Ensembles betrachten. Wir nutzen das Rosenzweig-Porter-Modell als unser primäres Beispiel, das zusätzlich zu den ergodischen und lokalisierten Regimen eine fraktale Phase beheimatet. Wir diskutieren die Eigenschaften der Matrizen-Elemente und Basisvektoren in diesen drei (ergodischen, fraktalen und lokalisierten) Regimen und führen Krylov-Raum-Werkzeuge ein, um die Übergangspunkte zu identifizieren. Die genauen Ausdrücke der Lanczos-Koeffizienten solcher tridiagonalen Matrizen werden in Form einer q-logarithmischen Funktion über das gesamte Parameterregime bereitgestellt. Die numerischen Ergebnisse werden mit analytischen Argumenten für bestimmte Merkmale der Krylov-Spektren untermauert. Darüber hinaus untersuchen wir die Komplexität des Krylov-Zustands (Verbreitung) innerhalb dieser Regime und zeigen die Wirksamkeit unserer Methoden zur Bestimmung dieser Übergänge.