Kernelmethoden auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit gaussischen RBF-Kernen

In diesem Papier entwickeln wir einen Ansatz zur Nutzung von Kernelmethoden mit mannigfaltigkeitswertigen Daten. Bei vielen Problemen der Computer Vision können die Daten natürlich als Punkte auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit dargestellt werden. Aufgrund der nicht-euklidischen Geometrie von Riemannschen Mannigfaltigkeiten liefern übliche euklidische Algorithmen der Computer Vision und des maschinellen Lernens bei solchen Daten minderwertige Ergebnisse. In diesem Papier definieren wir gaussische radial basis function (RBF)-basierte positiv definite Kerne auf Mannigfaltigkeiten, die es uns ermöglichen, eine gegebene Mannigfaltigkeit mit einer entsprechenden Metrik in einem hochdimensionalen reproduzierenden Kern-Hilbert-Raum einzubetten. Diese Kerne ermöglichen es, Algorithmen, die für lineare Räume entwickelt wurden, auf nichtlinearen mannigfaltigkeitswertigen Daten zu verwenden. Da der mit einer gegebenen Metrik definierte gaussische RBF nicht immer positiv definit ist, präsentieren wir ein einheitliches Framework zur Analyse der Positiv Definitheit des gaussischen RBF in einem allgemeinen metrischen Raum. Anschließend verwenden wir das vorgeschlagene Framework, um positiv definite Kerne auf zwei spezifischen Mannigfaltigkeiten zu identifizieren, die häufig in der Computer Vision vorkommen: der Riemannschen Mannigfaltigkeit symmetrischer positiv definiten Matrizen und der Grassmann-Mannigfaltigkeit, d.h. der Riemannschen Mannigfaltigkeit linearer Teilräume eines euklidischen Raums. Wir zeigen, dass viele populäre Algorithmen, die für euklidische Räume konzipiert wurden, wie Support-Vektormaschinen, Diskriminanzanalyse und Hauptkomponentenanalyse, mit Hilfe solcher positiv definiten gaussischen Kerne auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten generalisiert werden können.