Zur Geometrie von metrischen Maßräumen

Wir führen niedrigere (Ricci) Krümmungsbeschränkungen Curv ({M, d, m) } ⩾ K für metrische Maßräume ({M, d, m) } ein und analysieren diese. Unsere Definition basiert auf den Konvexitätseigenschaften der relativen Entropie Ent ({ | m. ) } betrachtet als Funktion im L2-Wasserstein-Raum der Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem metrischen Raum ({M, d) }. Unter anderem zeigen wir, dass Curv ({M, d, m) } ⩾ K Schätzungen für das Volumenwachstum konzentrischer Bälle impliziert. Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten gilt: Curv ({M, d, m) } ⩾ K genau dann, wenn Ric₌ ({, ) } ⩾ K | |^2 für alle TM. Der entscheidende Punkt ist, dass unsere unteren Krümmungsbedingungen stabil unter einem angemessenen Begriff der D-Konvergenz von metrischen Maßräumen sind. Wir definieren eine vollständige und separierbare Längenmetrik D auf der Familie aller Isomorphieklassen normalisierter metrischer Maßräume. Die Metrik D hat eine natürliche Interpretation, die auf dem Konzept des optimalen Massentransports basiert. Wir beweisen auch, dass die Familie der normalisierten metrischen Maßräume mit Verdopplungskonstanten ⩽ C unter der D-Konvergenz abgeschlossen ist. Darüber hinaus ist die Familie der normalisierten metrischen Maßräume mit Verdopplungskonstanten ⩽ C und Durchmesser ⩽ L kompakt unter der D-Konvergenz.