Ein Vergleich von GCV und GML zur Auswahl des Glättungsparameters im Problem der verallgemeinerten Splin-Glättung

Der teilweise unzulässige Prior hinter dem Glättungs-Splin-Modell wird verwendet, um eine Verallgemeinerung des Maximum-Likelihood (GML)-Schätzers für den Glättungsparameter zu erhalten. Dieser Schätzer wird dann sowohl analytisch als auch mittels Monte-Carlo-Methoden mit dem Schätzer der verallgemeinerten Kreuzvalidierung (GCV) verglichen. Der Vergleich basiert auf einem Kriterium des prädiktiven mittleren quadratischen Fehlers. Es wird gezeigt, dass der GML-Schätzer im Vergleich zum GCV-Schätzer unterglättet, wenn die wahre, unbekannte Funktion, die geschätzt wird, in einem zu definierenden Sinne glatt ist und dass der prädiktive mittlere quadratische Fehler unter Verwendung des GML-Schätzers langsamer gegen Null geht als der mittlere quadratische Fehler unter Verwendung des GCV-Schätzers. Wenn die wahre Funktion "rauh" ist, zeigen GCV und GML asymptotisch ähnliches Verhalten. Ein Monte-Carlo-Experiment wurde entworfen, um zu sehen, ob die asymptotischen Ergebnisse im glatten Fall bei kleinen Stichprobengrößen Evidenz fanden. Mischresultate wurden für n = 32 erzielt, GCV war bei n = 64 etwas besser als GML, und GCV war bei n = 128 eindeutig überlegen. Im Fall n = 32 war GCV besser für kleinere ² und der Vergleich eng für größere ². Es wird gezeigt, dass die theoretischen Ergebnisse auf das verallgemeinerte Splin-Glättungsmodell ausgeweitet werden, das den Schätzer für Funktionen mit verrauschten Werten verschiedener Integrale von ihnen umfasst.