Information und asymptotische Effizienz in parametrischen-nonparametrischen Modellen

Asymptotische Untergrenzen für die Schätzung der Parameter von Modellen mit sowohl parametrischen als auch nonparametrischen Komponenten werden in Form von Darstellungssätzen (für reguläre Schätzungen) und asymptotischen Minimaxgrenzen gegeben. Die verwendeten Methoden beinhalten: (i) das Konzept einer "Hellinger-differenzierbaren (Wurzel-)Dichte", wobei ein Teil der Differenzierung bezüglich des nonparametrischen Teils des Modells erfolgt, um geeignete Scores zu erhalten; und (ii) die Berechnung des "effektiven Scores" für den realen oder vektoriellen (endlichen) Parameter von Interesse als jene Komponente der Score-Funktion, die orthogonal zu allen Nuisance-Parameter-"Scores" (vielleicht unendlichen Dimensionen) ist. Die resulting asymptotische Information zur Schätzung der parametrischen Komponente des Modells beträgt genau (4 mal) die quadrierte L²-Norm des "effektiven Scores". Eine Folgerung dieser Ergebnisse ist eine einfache notwendige Bedingung für die "adaptive Schätzung": Anpassung ist nur möglich, wenn die Scores für den interessierenden Parameter orthogonal zu den Scores für die Nuisance-Funktion oder den nonparametrischen Teil des Modells sind. Berücksichtigte Beispiele umfassen das Ein-Stichproben-Lokationsmodell mit und ohne Symmetrie, Mischmodelle, das Zwei-Stichproben-Verschiebungsmodell und Cox' proportional hazards Modell.