Permutoeder, Assoziateder und darüber hinaus

Das Volumen und die Anzahl der Gitterpunkte des Permutoeders Pn werden durch bestimmte multivariate Polynome bestimmt, die bemerkenswerte kombinatorische Eigenschaften aufweisen. Wir geben mehrere verschiedene Formeln für diese Polynome an. Außerdem untersuchen wir eine allgemeinere Klasse von Polyedern, zu der der Permutoeder, der Assoziade-der, der Zyklodeder, das Pitman–Stanley-Polyeder und verschiedene verallgemeinerte Assoziade-der gehören, die mit wunderbaren Kompaktifizierungen von De Concini–Procesi verbunden sind. Diese Polyeder werden als Minkowski-Summen von Simplexen konstruiert. Wir berechnen ihre Volumina und beschreiben ihre kombinatorische Struktur. Die Koeffizienten der Monome in Vol Pn sind bestimmte positive ganze Zahlen, die wir gemischte eulerische Zahlen nennen. Diese Zahlen entsprechen den gemischten Volumina von Hypersimplexen. Verschiedene Spezialisierungen dieser Zahlen ergeben die üblichen eulerischen Zahlen, die Catalanzahlen, die Zahlen (n + 1)n−1 von Bäumen, die binomischen Koeffizienten usw. Wir berechnen die gemischten eulerischen Zahlen unter Verwendung bestimmter binärer Bäume. Viele Ergebnisse werden auf eine beliebige Weyl-Gruppe erweitert.