Die Geometrie der Mischwahrscheinlichkeiten: Eine allgemeine Theorie

In diesem Papier werden bestimmte fundamentale Eigenschaften des Maximum-Likelihood-Schätzers einer Mischverteilung als geometrische Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsmenge dargestellt. Die Existenz, die Unterstützungsgröße, die Wahrscheinlichkeitgleichungen und die Einzigartigkeit des Schätzers stehen in direktem Zusammenhang mit den Eigenschaften des konvexen Rands der Wahrscheinlichkeitsmenge und den Unterstützungs-Hyperflächen dieses Rands. Es wird mit geometrischen Techniken gezeigt, dass der Schätzer unter recht allgemeinen Bedingungen existiert, mit einer Unterstützungsgröße, die nicht größer ist als die Anzahl der unterschiedlichen Beobachtungen. Die Analyse des konvexen Duals der Wahrscheinlichkeitsmenge führt zu einem dualen Maximierungsproblem. Ein konvergierender Algorithmus wird beschrieben. Die definierenden Gleichungen für den Schätzer werden mit den üblichen parametrischen Wahrscheinlichkeitgleichungen für endliche Mischungen verglichen. Es werden hinreichende Bedingungen für die Einzigartigkeit gegeben. Teil II wird sich mit einer speziellen Theorie für Exponentialfamilien-Mischungen befassen.