Über einige asymptotisch nichtparametrische Konkurrenten von Hotellings T² 1

In einem vorherigen Papier 2 untersuchte der Autor einige alternative Schätzungen der Verschiebung im p-variate Ein-Stichproben-Problem. Dieses Papier untersucht die Eigenschaften von Tests für Verschiebungen, die Hotellings T² ähnlich sind, basierend auf (I) asymptotisch normalen Schätzungen, insbesondere solchen des Typs, der in 2 betrachtet wird, und (II) den zugrunde liegenden univariaten Teststatistiken der letzteren Gruppe. Die Notation, ähnlich der in 2 verwendeten, und die Tests werden in Abschnitt 2 eingeführt. Im dritten Abschnitt wird die asymptotische Verteilung solcher Teststatistiken für Sequenzen von Alternativen, die gegen 0 tendieren, während n^-1{2} festgestellt, dass sie nichtzentral ² ist. Die Tests vom Typ I und, oft einfacher, Tests vom Typ II haben dieselbe asymptotische Verteilung. In Abschnitt 4 stellen wir fest, dass die Pitman-Effizienz von zwei solchen Tests im Allgemeinen von der Richtung abhängt, in die der Ursprung angesteuert wird. Die Effizienz, gemessen an der „generalisierten Varianz“, der Schätzungen von 2 liegt zwischen der maximalen und minimalen Pitman-Effizienz der entsprechenden Tests vom Typ I (maximal und minimal wird über die Richtung hinweg genommen). Diese „generalisierte Varianz“-Effizienz stellt sich als gleich der Effizienz der Tests heraus, wie sie in Bezug auf ein von Isaacson 9 eingeführtes Gütekriterium definiert ist (D-Optimalität). Falls die Koordinaten identisch verteilt sind und nur Korrelationseffekte berücksichtigt werden, wird gezeigt, dass es immer eine Richtung gibt, in der ein Test den anderen verbessert, unabhängig davon, welche zwei Tests in Betracht gezogen werden. Abschnitt 5 setzt die Diskussion der Tests fort, die auf den in 2 eingeführten Schätzungen in Bezug auf Hotellings T² basieren. Ihre wünschenswerten Eigenschaften und Pathologien erweisen sich als ähnlich denen der Ausgangsschätzungen. Die verbleibenden Abschnitte befassen sich mit dem Fall p = 2. Unter Normalität verhält sich die minimale Pitman-Effizienz in Bezug auf T² der oben genannten Tests wie die Effizienz der Ausgangsschätzungen in Bezug auf den Mittelwert.